Zasada zachowania pędu i energii
Zadanie 1. Zderzenie niesprężyste z wagą.
Kawałek plasteliny o masie m spada z wysokości h na szalkę wagi sprężynowej. Masa szalki to M, a współczynnik sprężystości wynosi k. Napisz równanie opisujące zależność prędkości od wartości odkształcenia sprężyny. Przyjmij, że plastelina przylepiła się do szalki wagi.
Rozwiazanie:
Najlepiej zacząć od narysowania wagi, która jest jeszcze nieobciążona szalką M. Jako x0 oznaczymy wychylenie początkowe sprężyny tuż przed uderzeniem kulki m o szalkę M. W tym momencie na szalkę działają dwie siły: grawitacji i sprężystości. Jeżeli szalka była przed uderzeniem w spoczynku, to obie się równoważą.
Tuż po uderzeniu plasteliny o szalkę M odkształcenie jest prawie takie samo jak w chwili gdy była tylko szalka. Można dla tej sytuacji zapisać wyrażenie na energię całkowitą układu. Energię potencjalną sprężystości i potencjalną grawitacji będziemy liczyć względem x = 0.
Jako vk rozumiemy prędkość z jaką szalka, wraz z przyklejoną plasteliną, ruszy tuż po uderzeniu. Wyznaczymy ją z zasady zachowania pędu. Przypominam, że w zderzeniach niesprężystych niespełniona jest zasada zachowania energii. Kulka przylepia się do szalki i dlatego jest to sytuacja niesprężysta. Natomiast x0 obliczymy z warunku równowagi siły sprężystości i siły grawitacji.
Na rysunku powyżej widać dwie sytuacje graniczne zderzenia niesprężystego. Lewy rysunek to chwila przed przyczepieniem się plasteliny m do szalki M. Prędkość na tym rysunku jest prędkością końcową spadku z wysokości h. Na prawym rysunku natomiast widać chwilę po uderzeniu. Prędkość uzyskana w chwili uderzenia jest prędkością szalki jak i kulki.
Zapisujemy zasadę zachowania pędu dla tego zdarzenia i wyznaczamy vk.
W tym równaniu przeszkadza nam nieznajomość prędkości v0. W tym przypadku można do obliczenia zastosować zasadę zachowania energii. Podczas spadania energia potencjalna plasteliny zamienia się na energię kinetyczną w chwili zderzenia.
Możemy teraz zapisać ostateczną postać prędkości początkowej plasteliny i szalki.
W naszym wyrażeniu na początkową energię układu nie mamy określonego początkowego odkształcenia x0. Zapisujemy warunek równowagi sił, który pozwala znaleźć brakujące wyrażenie.
Podczas dalszej części ruchu zmiana położenia i prędkości powoduje zmianę wyrażenia określającego całkowitą energię układu.
Jeżeli układ jest wyizolowany od wpływu otoczenia (np. brak oporów ruchu), to energia całkowita nie ulega zmianie. Początkowe wyrażenie na energię E0 można przyrównać do Ec. Pamiętajmy o podstawieniu wcześniej wyliczonych elementów x0 oraz vk.
Uzyskane równanie mnożymy obustronnie przez 2 i dzielimy przez sumę mas.
ODP. Otrzymane powyżej równanie opisuje szukaną zależność prędkości układu od wielkości odkształcenia sprężyny.
Dla wszystkich, którzy wolą obejrzeć i posłuchać jak rozwiązywać trudne zadania, polecamy film z tymże zadaniem na naszym kanale:
Zadanie 2. Zderzenie centralne idealnie sprężyste.
Dwie różne kule o masach m1 i m2 zderzają się centralnie idealnie sprężyście. Przed zderzeniem prędkości kul miały przeciwne zwroty i wynosiły v1 oraz v2. Wykaż, że po zderzeniu prędkości obu kul wyrażają się wzorami:
Rozwiązanie:
Podczas zderzeń centralnych jedyny kierunek ruchu to prosta łącząca środki obu kul. Wszystko rozwiązujemy w jednym wymiarze np. wzdłuż osi OX.
Podczas zderzeń idealnie sprężystych zachowane są dwie zasady: pędu i energii. Energia nie jest wektorem ale należy pamiętać, że pęd jest wektorem i podczas pisania równań ma znaczenie zwrot prędkości chwilowej.
ZZE (1)
ZZP (2)
Z tych dwóch równań stworzymy układ, w którym jedynymi niewiadomymi są szukane prędkości kul po zderzeniu. Pierwsze równanie mnożymy obustronnie przez 2 i przenosimy wyrazy z masą pierwszą na lewą stronę a z masą drugą na prawą stronę. Grupowanie mas wykonujemy także dla drugiego równania.
Wyłączamy jednakowe masy przed nawias.
Jeżeli masy nie wynoszą zero i prędkości początkowe nie są jednakowe, to możemy podzielić stronami równanie pierwsze przez drugie.
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy proste równanie.
Wyznaczamy wzór na prędkość drugiej kuli po zderzeniu i wstawiamy do drugiego równania, które dotyczyło zasady zachowanie pędu.
(3)
(4)
Wzór na prędkość pierwszej kuli po zderzeniu się zgadza. Teraz podstawiamy wzór (4) do (3).
Mnożymy obustronnie przez sumę mas i redukujemy wyrazy podobne.
Dzielimy przez sumę mas aby otrzymać szukaną postać.
(5)
Otrzymane wzory (4) i (5) są identyczne z tezą postawioną w treści zadania. To kończy dowód.
