Zasada zachowania pędu i energii
Zadanie 1. Zderzenie niesprężyste z wagą.
Kawałek plasteliny o masie m spada z wysokości h na szalkę wagi sprężynowej. Masa szalki to M, a współczynnik sprężystości wynosi k. Napisz równanie opisujące zależność prędkości od wartości odkształcenia sprężyny. Przyjmij, że plastelina przylepiła się do szalki wagi.
Rozwiazanie:
Najlepiej zacząć od narysowania wagi, która jest jeszcze nieobciążona szalką M. Jako x0 oznaczymy wychylenie początkowe sprężyny tuż przed uderzeniem kulki m o szalkę M. W tym momencie na szalkę działają dwie siły: grawitacji i sprężystości. Jeżeli szalka była przed uderzeniem w spoczynku, to obie się równoważą.
Tuż po uderzeniu plasteliny o szalkę M odkształcenie jest prawie takie samo jak w chwili gdy była tylko szalka. Można dla tej sytuacji zapisać wyrażenie na energię całkowitą układu. Energię potencjalną sprężystości i potencjalną grawitacji będziemy liczyć względem x = 0.
Jako vk rozumiemy prędkość z jaką szalka, wraz z przyklejoną plasteliną, ruszy tuż po uderzeniu. Wyznaczymy ją z zasady zachowania pędu. Przypominam, że w zderzeniach niesprężystych niespełniona jest zasada zachowania energii. Kulka przylepia się do szalki i dlatego jest to sytuacja niesprężysta. Natomiast x0 obliczymy z warunku równowagi siły sprężystości i siły grawitacji.
Na rysunku powyżej widać dwie sytuacje graniczne zderzenia niesprężystego. Lewy rysunek to chwila przed przyczepieniem się plasteliny m do szalki M. Prędkość na tym rysunku jest prędkością końcową spadku z wysokości h. Na prawym rysunku natomiast widać chwilę po uderzeniu. Prędkość uzyskana w chwili uderzenia jest prędkością szalki jak i kulki.
Zapisujemy zasadę zachowania pędu dla tego zdarzenia i wyznaczamy vk.
W tym równaniu przeszkadza nam nieznajomość prędkości v0. W tym przypadku można do obliczenia zastosować zasadę zachowania energii. Podczas spadania energia potencjalna plasteliny zamienia się na energię kinetyczną w chwili zderzenia.
Możemy teraz zapisać ostateczną postać prędkości początkowej plasteliny i szalki.
W naszym wyrażeniu na początkową energię układu nie mamy określonego początkowego odkształcenia x0. Zapisujemy warunek równowagi sił, który pozwala znaleźć brakujące wyrażenie.
Podczas dalszej części ruchu zmiana położenia i prędkości powoduje zmianę wyrażenia określającego całkowitą energię układu.
Jeżeli układ jest wyizolowany od wpływu otoczenia (np. brak oporów ruchu), to energia całkowita nie ulega zmianie. Początkowe wyrażenie na energię E0 można przyrównać do Ec. Pamiętajmy o podstawieniu wcześniej wyliczonych elementów x0 oraz vk.
Uzyskane równanie mnożymy obustronnie przez 2 i dzielimy przez sumę mas.
ODP. Otrzymane powyżej równanie opisuje szukaną zależność prędkości układu od wielkości odkształcenia sprężyny.
