Ruch po okręgu
Zadanie 1. Na torze kołowym o promieniu R = 30 m znajduje się niewielki pojazd. W pewnej chwili uruchomiono silnik, który zwiększa wartość prędkości pojazdu w stałym tempie 0,5 m/s2. Jakie jest całkowite przyspieszenie po upływie 15 sekund od rozpoczęcia ruchu? Jaki kąt tworzy to przyspieszenie z wektorem prędkości chwilowej? Jaka jest wartość średniej prędkości dla tego odstępu czasu?
Rozwiązanie:
Zbierzmy wszystkie dane liczbowe: R = 30 m, as = 0,5 m/s2, t = 15 s, v0 = 0 m/s.
Zawsze w ruchu krzywoliniowym występuje przyspieszenie dośrodkowe aR, które zmienia kierunek i zwrot wektora prędkości chwilowej. W tym zadaniu mamy do czynienia także z przyspieszeniem stycznym as, które zmienia wartość prędkości chwilowej.
Przyspieszenie całkowite jest sumą dwóch wektorów: przyspieszenia stycznego i dośrodkowego.
Przyspieszenie styczne, zgodnie z treścią zadania, jest stałe w czasie. Powoduje ono stały przyrost wartości prędkości liniowej pojazdu w ruchu na tym torze. Wartość tej prędkości zmienia wartość przyspieszenia dośrodkowego, które zależy wprost proporcjonalnie od kwadratu prędkości.
Promień toru nie ulega zmianie, więc tylko prędkość liniowa zmienia wartość aR. W pierwszej kolejności należy wyznaczyć prędkość uzyskaną po 15 sekundach rozpędzania.
Wyznaczamy wartość przyspieszenia dośrodkowego dla tej chwili czasowej.
Jeżeli oba przyspieszenia: dośrodkowe i styczne są wzajemnie prostopadłe, to przyspieszenie całkowite można obliczyć na podstawie twierdzenia Pitagorasa.
Do obliczenie kąta pomiędzy przyspieszeniem całkowitym a prędkością chwilową, wykorzystamy fakt, że prędkość chwilowa jest równoległa do przyspieszenia stycznego.
Sprawdzamy dla jakiego kąta tangens uzyskuje wartość 3,75.
Prędkość średnia wyraża się wzorem:
Przemieszczenie r wyliczymy za pomocą kąta jaki zostanie zakreślony przez jadący w czasie 15 sekund pojazd.
Prędkość początkowa kątowa wynosi zero, bo prędkość liniowa była równa zeru. Przyspieszenie kątowe można obliczyć dzieląc przyspieszenie styczne przez promień zakreślanego okręgu.
Przemieszczenie wyznaczamy za pomocą funkcji sinus.
Pozostało już tylko wyliczyć wartość średniej prędkości.
ODP. Po 15 sekundach od rozpoczęcia ruchu, pojazd będzie miał przyspieszenie całkowite o wartości 1,93 m/s2 skierowane pod kątem 75° do prędkości chwilowej w stronę środka toru. W tym czasie prędkość średnia wyniesie około 3,23 m/s.
